Равнобедренная трапеция с меньшим основанием 8 см и острым углом 60⁰ является основанием прямой призмы. Диагонали трапеции – биссектрисы её острых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30⁰.

Для решения задачи нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение высоты трапеции:

   Пусть $h$ — это высота равнобедренной трапеции. Для начала определим её высоту, используя данные об острых углах. Из условия, что острый угол трапеции равен 60°, можно найти высоту с помощью тригонометрических функций.

   Так как диагональ является биссектрисой, она делит угол на два угла по 30°. Для того, чтобы найти высоту трапеции, воспользуемся свойствами треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной основания:

   $$\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{8}{2}} = \frac{h}{4}$$

   Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

   $$\frac{h}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad h = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2,31 \, \text{см}.$$

2. Определение длины боковой стороны трапеции:

   Чтобы найти боковую сторону $a$, используем теорему Пифагора для треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной основания. Половина основания трапеции равна 4 см, высота $h \approx 2,31$ см.

   $$a = \sqrt{4^2 + (2,31)^2} = \sqrt{16 + 5,34} = \sqrt{21,34} \approx 4,62 \, \text{см}.$$

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы:

   Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призма}},$$

   где $P_{\text{осн}}$ — площадь основания трапеции, а $h_{\text{призма}}$ — высота призмы. Площадь основания трапеции можно вычислить через формулу для площади трапеции:

   $$P_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot h,$$

   где $a_1 = 8 \, \text{см}$ — меньшее основание, $a_2 = 8 + 2 \cdot 4 = 16 \, \text{см}$ — большее основание (так как трапеция равнобедренная), и $h = 2,31 \, \text{см}$. Подставляем значения:

   $$P_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot (8 + 16) \cdot 2,31 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2,31 \approx 27,72 \, \text{см}^2.$$

4. Нахождение высоты призмы:

   Из условия задачи известно, что диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 30°. Высоту призмы $h_{\text{призма}}$ можно найти, используя косинус угла между диагональю и основанием. Высота призмы будет равна:

   $$h_{\text{призма}} = \frac{h_{\text{диагональ}}}{\cos(30^\circ)}.$$

   Поскольку диагональ образует угол 30° с основанием, косинус этого угла равен $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

   Высоту диагонали можно вычислить через её длину и угол между диагональю и основанием.