В равностороннем треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 3 см. Найдите радиус описанной окружности (в см).

В равностороннем треугольнике все основные центры (пересечение медиан, высот, биссектрис) совпадают, а радиусы вписанной и описанной окружностей выражаются через сторону $a$.

1) Формула для радиуса вписанной окружности $r$
Площадь равностороннего треугольника:

С другой стороны, площадь через радиус вписанной окружности:

где $p$ — полупериметр. Для равностороннего треугольника:

Тогда:

Сократим на $a\neq 0$:

Умножим на 4:

Отсюда:

2) Формула для радиуса описанной окружности $R$
Для равностороннего треугольника:

3) Связь между $R$ и $r$
Сравним формулы:

Видно, что:

4) Подставляем $r=3$ см

Ответ: $6$ см.