В прямоугольном треугольнике АВС угол С=90 градусов, угол А=30 градусов, CD - высота, BD=1. Найдите AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 60^\circ$. Высота $CD$ опущена на гипотенузу $AB$, точка $D$ лежит на $AB$. Дано $BD = 1$. Нужно найти $AD$.

1) Используем свойства высоты к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла делит гипотенузу на отрезки $AD$ и $BD$, причём выполняются соотношения:

Если разделить первое равенство на второе, получим:

То есть:

2) Подставим соотношение сторон в треугольнике $30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ$

В таком треугольнике стороны относятся как:

• против $30^\circ$ — меньший катет,

• против $60^\circ$ — больший катет,

• гипотенуза — в 2 раза больше меньшего катета.

У нас $\angle A = 30^\circ$, значит сторона, лежащая напротив него, это $BC$ — меньший катет. Тогда $AC$ (напротив $60^\circ$) — больший катет, и:

Возведём в квадрат:

Следовательно:

3) Находим $AD$

Из пункта 1:

Так как $BD = 1$, то:

Ответ: $\boxed{AD = 3}$.