В треугольнике АВС сторона АС=6, угол С=135 градусов и высота ВD=2. Найдите площадь треугольника АВD.

Рассмотрим сторону $AC$ как основание, на неё опущена высота $BD$, причём $BD=2$ и $BD \perp AC$. Нужно найти площадь $\triangle ABD$.

1) Важно понять, где находится точка $D$

Дан угол при вершине $C$: $\angle C = 135^\circ$ — он тупой.
Если угол при $C$ тупой, то перпендикуляр из $B$ на прямую $AC$ падает не на отрезок $AC$, а на продолжение прямой $AC$ за точку $C$ (то есть $D$ окажется “левее” $C$).

2) Введём координаты

Положим:

• $C = (0,0)$,

• отрезок $CA$ направим вдоль оси $x$,

• так как $AC=6$, то $A=(6,0)$,

• прямая $AC$ — это ось $x$.

Луч $CB$ образует с $CA$ угол $135^\circ$. Значит точка $B$ лежит на луче под углом $135^\circ$ к оси $x$, то есть имеет вид:

Высота $BD$ — это расстояние от $B$ до оси $x$, то есть просто модуль $y$-координаты точки $B$:

Отсюда:

Тогда координаты $B$:

Точка $D$ — проекция $B$ на ось $x$, значит:

3) Находим $AD$

4) Площадь $\triangle ABD$

В треугольнике $ABD$ высота к основанию $AD$ — это как раз $BD$, потому что $AD\subset AC$ и $BD\perp AC$, значит $BD\perp AD$.

Тогда: