плоскость квадрата ABCD со стороной α перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника BCM с углом B=120 градусов. Найти площадь треугольника ADM.

Обозначим сторону квадрата через $\alpha$.

1) Выберем удобную систему координат

Расположим квадрат $ABCD$ в плоскости $z=0$ так, чтобы:

• $B(0,0,0)$,

• $C(\alpha,0,0)$ (то есть $BC=\alpha$ лежит на оси $x$),

• $A(0,\alpha,0)$,

• $D(\alpha,\alpha,0)$.

Тогда плоскость квадрата — это $z=0$.

2) Используем перпендикулярность плоскостей

Плоскость треугольника $BCM$ перпендикулярна плоскости квадрата и пересекает её по общей прямой $BC$.

Значит плоскость треугольника можно взять как плоскость $y=0$ (она перпендикулярна $z=0$ и содержит прямую $BC$, потому что у $B$ и $C$ координата $y=0$).

Следовательно, точка $M$ имеет вид:

3) Условия равнобедренности и угла $\angle B = 120^\circ$

Треугольник $BCM$ равнобедренный с углом при $B$, значит равны стороны, выходящие из $B$:

Так как $BC=\alpha$, получаем:

Векторы:

Условие на угол:

Левая часть $\cos 120^\circ=-\frac12$.

Скалярное произведение:

Длины $|BC|=\alpha$, $|BM|=\alpha$. Тогда:

Теперь из $BM=\alpha$:

(Берём положительное $z$, площадь от этого не изменится.)

Итак,

4) Площадь треугольника $ADM$

Точки: