В сферу вписан конус образующая которого равна l а угол при вершине осевого сеченияоазующая которого равна l а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов найти площадь сферы

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это треугольник, который получается плоскостью через ось конуса: он равнобедренный, его боковые стороны равны образующим.

1) Что дано в осевом сечении

• Образующая конуса равна $l$ ⇒ боковые стороны осевого сечения равны $l$ и $l$.

• Угол при вершине осевого сечения равен $60^\circ$.

Значит, в осевом сечении имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и углом между ними $60^\circ$.

Но если в треугольнике две стороны равны $l$, а угол между ними $60^\circ$, то третья сторона тоже равна $l$ (по теореме косинусов):

То есть осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной $l$.

2) Связь со сферой

Конус вписан в сферу, значит сфера проходит через:

• вершину конуса,

• всю окружность основания.

Если посмотреть на осевое сечение, то эта сфера в сечении даёт окружность, проходящую через:

• вершину треугольника,

• концы диаметра основания (это две точки основания в осевом сечении).

То есть окружность сечения — это описанная окружность вокруг нашего равностороннего треугольника.
Следовательно, радиус сферы равен радиусу описанной окружности этого равностороннего треугольника.

3) Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной $l$:

Это и есть радиус сферы.

4) Площадь поверхности сферы

Площадь сферы:

Подставляем $R = \frac{l}{\sqrt{3}}$:

Ответ: $\displaystyle S_{\text{сферы}}=\frac{4\pi l^2}{3}$.