Высота, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна 15 см и отсекает на боковой стороне отрезок длиной 8 см, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите площадь и периметр треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC=BC$. Вершина $C$ — противолежащая основанию.

Пусть из вершины $A$ опущена высота на боковую сторону $BC$ и её основание — точка $D$, то есть

По условию эта высота “отсекает на боковой стороне отрезок 8 см, считая от вершины $C$”, значит

1) Находим боковую сторону

Треугольник $ACD$ прямоугольный (прямой угол при $D$), поэтому по теореме Пифагора:

Так как треугольник равнобедренный, то

Тогда

2) Находим основание $AB$

Треугольник $ABD$ тоже прямоугольный (при $D$), значит:

3) Площадь треугольника

Площадь можно найти через сторону $BC$ и высоту к ней $AD$:

4) Периметр треугольника

Ответ:

• Площадь: $\displaystyle S=\frac{255}{2}\text{ см}^2 = 127{,}5\text{ см}^2$.

• Периметр: $\displaystyle P=34 + 3\sqrt{34}\text{ см}$ (примерно $34 + 17{,}49 \approx 51{,}49\text{ см}$).