Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна \(8\sqrt{5}\) см², а боковое ребро — 4 см. Найдите длину диагонали параллелепипеда.

Диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда обычно называют сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковым рёбрам. В прямоугольном параллелепипеде такое сечение — прямоугольник.

Обозначим стороны основания через $a$ и $b$, а боковое ребро (высоту) через $c$. По условию

Одна сторона диагонального сечения — это диагональ основания:

Другая сторона — высота $c$. Тогда площадь диагонального сечения равна

По условию $S=8\sqrt5$, значит

Теперь найдём диагональ параллелепипеда $D$. Пространственная диагональ удовлетворяет:

Но $a^2+b^2 = d^2$, поэтому

Ответ: $6$ см.