Дан квадрат ABCD, площадь которого равна 25. Прямая MB перпендикулярна плоскости ABCD, BM = 12. Найдите площадь треугольника AMD.

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть квадрат ABCD, площадь которого равна 25. Это означает, что длина стороны квадрата равна:

Так как квадрат, то все его стороны равны и перпендикулярны друг другу. Пусть точка $M$ — это точка, расположенная на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата ABCD, которая проходит через точку B. Таким образом, $MB$ — это высота, перпендикулярная плоскости квадрата. Длина отрезка $MB$ равна 12.

Теперь перейдем к поиску площади треугольника $AMD$. Для этого удобно будет использовать координатный метод.

1. Ставим координаты на плоскости:
   Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, точка $B$ — $(5, 0, 0)$, точка $C$ — $(5, 5, 0)$, точка $D$ — $(0, 5, 0)$. Эти точки находятся на плоскости квадрата, которая лежит в плоскости $z = 0$.

2. Точка M:
   Точка $M$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости квадрата в точке $B$, и её координаты будут $(5, 0, 12)$, так как прямую можно представить как вертикальную линию, а её длина от $B$ до $M$ равна 12.

3. Площадь треугольника $AMD$:
   Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу через векторное произведение:

• Вектор $\overrightarrow{AM}$ из точки $A$ в точку $M$ равен:

• Вектор $\overrightarrow{AD}$ из точки $A$ в точку $D$ равен:

Теперь найдем векторное произведение $\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AD}$:

Векторное произведение $\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AD}$ имеет компоненты $(-60, 0, 25)$.

Длина этого вектора равна: