Найдите отношение площадей кругов: описанного около правильного треугольника и вписанного в этот же правильный треугольник.

Для нахождения отношения площадей кругов, описанного около правильного треугольника и вписанного в него, давайте разобьем задачу на несколько шагов.

1. Площадь описанного круга:
   Описанный круг — это круг, который проходит через все вершины правильного треугольника. Центр этого круга совпадает с центром тяжести треугольника (центр масс), а радиус описанного круга можно найти через сторону правильного треугольника.

   Пусть $a$ — длина стороны правильного треугольника. Радиус описанного круга $R$ можно найти по формуле:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

   Площадь описанного круга $S_1$ будет равна:

   $$S_1 = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{3}$$

2. Площадь вписанного круга:
   Вписанный круг касается всех сторон треугольника. Его радиус $r$ можно выразить через площадь треугольника и его периметр. Площадь правильного треугольника с длиной стороны $a$ можно найти по формуле:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

   Периметр треугольника $P$ равен:

   $$P = 3a$$

   Радиус вписанного круга $r$ определяется как:

   $$r = \frac{S_{\text{треугольника}}}{P} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{12} a$$

   Площадь вписанного круга $S_2$ будет:

   $$S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{12} a\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12}$$

3. Отношение площадей:
   Теперь можем найти отношение площадей описанного круга к площади вписанного круга:

   $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi a^2}{3}}{\frac{\pi a^2}{12}} = \frac{12}{3} = 4$$

Ответ: отношение площадей кругов равно 4.