Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной \( a \). Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью угол \( 30^\circ \). Найдите объем.

Давайте решим задачу поэтапно.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет основание в виде квадрата со стороной $a$, а его диагональ составляет угол $30^\circ$ с боковой гранью.

1. Обозначения:

   • Обозначим длину стороны квадрата $a$.

   • Боковая грань параллелепипеда будет иметь вид прямоугольного параллелепипеда, где одна из сторон — это $a$, а высота, скажем, $h$.

2. Диагональ основания:
   Площадь основания — это квадрат со стороной $a$, диагональ этого квадрата будет равна $a\sqrt{2}$. Обозначим эту диагональ как $d_{\text{осн}}$.

3. Диагональ параллелепипеда:
   Диагональ всего параллелепипеда можно выразить через его размеры. Она будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника, где катеты — это диагональ основания $a\sqrt{2}$ и высота $h$. Диагональ параллелепипеда $D$ вычисляется по теореме Пифагора:

   $$D = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$$

4. Используем угол $30^\circ$:
   Согласно условию, угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью составляет $30^\circ$. Боковая грань — это прямоугольный треугольник, в котором одна из сторон равна $a$, а другая — $h$. Синус угла $30^\circ$ равен $\frac{1}{2}$, и мы можем выразить его как отношение диагонали основания $a\sqrt{2}$ к диагонали параллелепипеда $D$:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{a\sqrt{2}}{D}$$

   Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, подставляем это значение:

   $$\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$$

5. Решаем уравнение:
   Умножаем обе части на $\sqrt{2a^2 + h^2}$:

   $$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2 + h^2} = a\sqrt{2}$$

   Умножаем обе части на 2:

   $$\sqrt{2a^2 + h^2} = 2a\sqrt{2}$$

   Теперь возводим обе части в квадрат:

   $$2a^2 + h^2 = 8a^2$$

   Убираем $2a^2$ с обеих сторон:

   $$h^2 = 6a^2$$

   Отсюда $h = \sqrt{6}a$.

6. Объем параллелепипеда:
   Объем параллелепипеда $V$ можно найти по формуле:

   $$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$

   где $S_{\text{осн}} = a^2$ — площадь основания. Подставляем значения:

   $$V = a^2 \cdot \sqrt{6}a = a^3 \sqrt{6}$$