Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Перпендикуляр AM, опущенный на диагональ BD,

Ответы на вопрос

Отвечает Дьячков Дима.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ . Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, значит точка $O$ — середина диагонали $BD$ .

По условию перпендикуляр $AM$ , опущенный на диагональ $BD$ , попадает в точку $M$ на отрезке $OB$ , причём

OM=12\text{ см},\quad BM=3\text{ см}.

Тогда

OB = OM + BM = 12+3=15\text{ см}.

Но $O$ — середина диагонали $BD$ , значит

BD = 2\cdot OB = 2\cdot 15 = 30\text{ см}.

Пусть

A(0,0),\quad B(a,0),\quad D(0,b),

тогда $AB=a$ , $AD=b$ , а диагональ $BD$ имеет длину

BD=\sqrt{a^2+b^2}=30. \tag{1}

Параметризуем точку на диагонали $BD$ :

B(a,0)\to D(0,b):\quad (x,y)=(a(1-t),\,bt),

где $t=0$ соответствует точке $B$ , $t=1$ — точке $D$ .

Расстояние от $B$ до такой точки вдоль диагонали равно $t\cdot BD$ . Так как

BM=3,\quad BD=30,

получаем

t_M=\frac{BM}{BD}=\frac{3}{30}=0.1.

Значит

M\bigl(0.9a,\;0.1b\bigr).

Вектор диагонали $BD$ можно взять как

\overrightarrow{BD}=(-a,\;b).

Вектор

\overrightarrow{AM}=M-A=(0.9a,\;0.1b).

Условие перпендикулярности:

\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=0

(0.9a,\;0.1b)\cdot(-a,\;b)= -0.9a^2+0.1b^2=0.

Отсюда

0.1b^2=0.9a^2 \;\Rightarrow\; b^2=9a^2 \;\Rightarrow\; b=3a. \tag{2}

Подставим (2) в (1):

\sqrt{a^2+(3a)^2}=\sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10}\,a=30

a=\frac{30}{\sqrt{10}}=\frac{30\sqrt{10}}{10}=3\sqrt{10}\text{ см}.

Ответы на вопрос