В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы угла A и угла D, которые пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если BM = 8.

Обозначим стороны прямоугольника: $AB = w$ (ширина), $AD = h$ (высота). Расположим его на координатной плоскости:

• $A(0,0)$

• $B(w,0)$

• $C(w,h)$

• $D(0,h)$

1) Биссектриса угла $A$

Угол $A$ прямой ($90^\circ$). Его биссектриса делит угол пополам, значит идёт под углом $45^\circ$ к сторонам $AB$ и $AD$. В координатах это прямая:

2) Биссектриса угла $D$

Угол $D$ тоже прямой. Вершина $D(0,h)$. Внутренняя биссектриса направлена вниз и вправо под $45^\circ$. Её уравнение:

3) Точка пересечения биссектрис

Найдём пересечение прямых $y=x$ и $y=h-x$:

Тогда

Значит точка пересечения биссектрис:

4) Условие: $M$ лежит на стороне $BC$

Сторона $BC$ — это вертикальная прямая $x = w$. Раз точка $M$ лежит на $BC$, то её $x$-координата равна $w$:

При этом $B(w,0)$, а $M(w, \frac{h}{2})$, значит длина $BM$ (отрезок по стороне $BC$) равна:

По условию $BM = 8$, следовательно:

Тогда

5) Площадь прямоугольника

Ответ: $128$.