Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с основанием угол 32 градуса. Найдите углы трапеции.

Обозначим равнобокую трапецию $ABCD$, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее основание, а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны.

По условию:

• боковая сторона равна меньшему основанию, то есть

• диагональ образует с основанием угол $32^\circ$.

Нужно найти углы трапеции.

Рассмотрим угол при большем основании, например $\angle A = x$.

Так как трапеция равнобокая, то если опустить высоты из верхних вершин на большее основание, то каждая боковая сторона образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — боковая сторона $AD$,

• катет, прилегающий к углу $x$, равен проекции боковой стороны на основание.

Пусть длина меньшего основания и боковой стороны равна $a$.

Тогда для боковой стороны:

• горизонтальная проекция равна $a\cos x$,

• высота трапеции равна $a\sin x$.

Теперь посмотрим на диагональ, которая образует с основанием угол $32^\circ$.

Её горизонтальная проекция равна:

потому что она состоит из меньшего основания $a$ и ещё одной проекции боковой стороны $a\cos x$.

Её вертикальная составляющая равна высоте:

Значит,

Но известно тождество:

Следовательно,

Отсюда

Итак, углы при большем основании равны $64^\circ$.

Так как соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $180^\circ$, то углы при меньшем основании равны:

Ответ: углы трапеции равны