Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O, SO - перпендикуляр к плоскости квадрата, SO=4√2. Докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SB, SC, SD с плоскостью квадрата.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ с центром $O$, то есть точкой пересечения его диагоналей. По условию $SO \perp (ABCD)$, значит точка $S$ расположена над центром квадрата, а отрезок $SO$ является высотой к плоскости квадрата.

Нужно доказать, что прямые $SA, SB, SC, SD$ образуют с плоскостью квадрата равные углы.

Обозначим через $\alpha_A, \alpha_B, \alpha_C, \alpha_D$ углы, которые соответственно образуют прямые $SA, SB, SC, SD$ с плоскостью квадрата.

Используем известный факт: угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.

Тогда:

• проекция прямой $SA$ на плоскость квадрата — это отрезок $AO$, потому что точка $S$ проектируется в $O$, а точка $A$ уже лежит в плоскости;

• аналогично, проекциями прямых $SB, SC, SD$ являются соответственно $BO, CO, DO$.

Значит:

• угол между $SA$ и плоскостью квадрата равен углу $\angle SAO$;

• угол между $SB$ и плоскостью квадрата равен углу $\angle SBO$;

• угол между $SC$ и плоскостью квадрата равен углу $\angle SCO$;

• угол между $SD$ и плоскостью квадрата равен углу $\angle SDO$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $SAO$, $SBO$, $SCO$, $SDO$. Они прямоугольные, потому что $SO \perp (ABCD)$, а значит $SO \perp AO$, $SO \perp BO$, $SO \perp CO$, $SO \perp DO$.

Кроме того:

• $SO$ — общий катет;

• $OA = OB = OC = OD$, так как $O$ — центр квадрата, а значит равноудалена от всех его вершин.

Следовательно, прямоугольные треугольники $SAO$, $SBO$, $SCO$, $SDO$ равны по двум катетам.

Из равенства этих треугольников получаем:

А это и есть углы, которые прямые $SA, SB, SC, SD$ образуют с плоскостью квадрата.

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Можно доказать и через синус. Например, в прямоугольном треугольнике $SAO$

Но из равенства треугольников следует, что

поэтому и значения синусов всех этих углов одинаковы, а значит сами углы равны. Однако доказательство через равенство прямоугольных треугольников здесь самое наглядное.