В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. Точка M не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка BM. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.

Пусть трапеция $ABCD$ лежит в некоторой плоскости $\alpha$. Так как $BC$ — основание трапеции, то второе основание $AD$ параллельно ему:

Точка $M$ не лежит в плоскости трапеции, значит точки $M, B, C$ задают плоскость $(MBC)$. Точка $K$ — середина отрезка $BM$, поэтому $K\in BM$, а значит $K\in (MBC)$.

Рассмотрим плоскость $(ADK)$. Она содержит прямую $AD$ и точку $K$. Поскольку $AD \parallel BC$, а $BC$ лежит в плоскости $(MBC)$, то через точку $K$ в плоскости $(MBC)$ можно провести прямую, параллельную $BC$. Обозначим эту прямую через $KH$:

Так как $AD \parallel BC$, получаем также:

Прямая $KH$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $AD$, а плоскость $(ADK)$ содержит точку $K$ и прямую $AD$. Следовательно, прямая $KH$ лежит в плоскости $(ADK)$.

С другой стороны, $KH$ построена в плоскости $(MBC)$. Значит, $KH$ является линией пересечения плоскостей $(ADK)$ и $(MBC)$.

Теперь рассмотрим треугольник $MBC$. В нём точка $K$ — середина стороны $BM$, а прямая через $K$, параллельная стороне $BC$, пересекает сторону $MC$ в точке $H$. По теореме о средней линии треугольника точка $H$ является серединой $MC$, а отрезок $KH$ равен половине основания $BC$:

Так как $BC=12$ см, то

Следовательно, плоскость $ADK$ действительно пересекает отрезок $MC$ в некоторой точке $H$, причём