Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны AC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

В такой формулировке утверждение неверно.

Если $AM$ — медиана треугольника $ABC$, то обычно это означает, что точка $M$ лежит на стороне $BC$ и является её серединой. Условие говорит:

Из этого не следует, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Покажем контрпример.

Возьмём точки:

Тогда

то есть действительно

Теперь построим точку $B$ так, чтобы $M$ была серединой $BC$. Если

то точка $B$ должна иметь координаты

потому что середина отрезка $BC$:

Значит, $AM$ действительно является медианой треугольника $ABC$, и при этом

Проверим, является ли треугольник прямоугольным.

Найдём квадраты сторон:

Если бы треугольник был прямоугольным, то для некоторых двух меньших сторон выполнялась бы теорема Пифагора. Но:

Значит, треугольник не прямоугольный.

Следовательно, из условия

нельзя доказать, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Верное классическое утверждение звучит так: если медиана, проведённая к стороне, равна половине этой стороны, то треугольник прямоугольный. То есть если $M$ — середина $BC$ и

тогда треугольник $ABC$ действительно прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине $A$.