Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной, равной 1. Диагональ параллелепипеда равна 2. Найдите угол между плоскостью основания параллелепипеда и прямой, содержащей его диагональ.

У прямоугольного параллелепипеда основание — квадрат со стороной $1$, значит диагональ основания равна

Пусть высота параллелепипеда равна $h$. Пространственная диагональ параллелепипеда, например $AC_1$, равна $2$. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю основания, высотой и диагональю параллелепипеда:

Подставим известные значения:

Теперь нужно найти угол между плоскостью основания и прямой, содержащей диагональ параллелепипеда. Такой угол равен углу между диагональю параллелепипеда и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали $AC_1$ на основание является диагональ основания $AC$.

Получаем прямоугольный треугольник, где:

Так как катеты $AC$ и $CC_1$ равны, этот прямоугольный треугольник равнобедренный. Значит острые углы в нём равны по $45^\circ$.

Следовательно, угол между плоскостью основания параллелепипеда и прямой, содержащей его диагональ, равен