Площадь параллелограмма с диагоналями 12 и 8 равна 32√2. Найдите большую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма через диагонали: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta \), где \( \theta \) — угол между диагоналями.

Подставляем: \( 32\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin\theta \), откуда \( \sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

Тогда \( \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \pm \frac{1}{3} \).

Стороны параллелограмма находим по теореме косинусов из половинок диагоналей: \( a^2 = 6^2 + 4^2 - 2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos\theta \), \( b^2 = 6^2 + 4^2 + 2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos\theta \).

Большая сторона соответствует знаку «+»: \( b^2 = 36 + 16 + 48\cos\theta \).

Если \( \cos\theta = \frac{1}{3} \), то \( b^2 = 52 + 16 = 68 \), \( b = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \).

Если \( \cos\theta = -\frac{1}{3} \), то \( b^2 = 52 - 16 = 36 \), \( b = 6 \).

Сравнивая, большая сторона равна \( 2\sqrt{17} \).

0 0 Пожаловаться