B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = квадратный корень из 26, AD = 11, AA1 = 23. Найдите расстояние от точки С1 до прямой BD1

Введём систему координат: \(A(0;0;0)\), \(B(\sqrt{26};0;0)\), \(D(0;11;0)\), \(A_1(0;0;23)\). Тогда \(C_1(\sqrt{26};11;23)\), \(B(\sqrt{26};0;0)\), \(D_1(0;11;23)\).

Вектор \(\overrightarrow{BD_1} = (-\sqrt{26}; 11; 23)\).

Вектор \(\overrightarrow{BC_1} = (0; 11; 23)\).

Расстояние от точки \(C_1\) до прямой \(BD_1\) равно \(\frac{|\overrightarrow{BC_1} \times \overrightarrow{BD_1}|}{|\overrightarrow{BD_1}|}\).

Векторное произведение: \(\overrightarrow{BC_1} \times \overrightarrow{BD_1} = (0; -23\sqrt{26}; 11\sqrt{26})\). Его длина: \(\sqrt{0^2 + (-23\sqrt{26})^2 + (11\sqrt{26})^2} = \sqrt{26 \cdot (529 + 121)} = \sqrt{26 \cdot 650} = \sqrt{16900} = 130\).

Длина \(\overrightarrow{BD_1}\): \(\sqrt{(-\sqrt{26})^2 + 11^2 + 23^2} = \sqrt{26 + 121 + 529} = \sqrt{676} = 26\).

Искомое расстояние: \(130 / 26 = 5\).

Ответ: 5.

0 0 Пожаловаться