В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P. Известно, что AC1:C1B=2:1, AB1:B1C=1:3. Найдите отношение AP:PA1.

Используем метод масс.

Точка \( C_1 \) лежит на стороне \( AB \), и дано:

\[ AC_1:C_1B = 2:1 \]

Значит, массы у точек \( A \) и \( B \) относятся наоборот:

\[ m_B:m_A = 2:1 \]

Точка \( B_1 \) лежит на стороне \( AC \), и дано:

\[ AB_1:B_1C = 1:3 \]

Значит:

\[ m_C:m_A = 1:3 \]

Возьмём \( m_A = 3 \). Тогда \( m_B = 6 \), \( m_C = 1 \).

На стороне \( BC \) точка \( A_1 \) имеет массу:

\[ m_{A_1}=m_B+m_C=6+1=7 \]

На ceviane \( AA_1 \) точка \( P \) делит отрезок в отношении масс наоборот:

\[ AP:PA_1 = m_{A_1}:m_A = 7:3 \]

Ответ: \( AP:PA_1 = 7:3 \).

0 0 Пожаловаться