Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ABC пересекаются в точке M, N принадлежит DC, причём DN : NC = 5 : 1. Разложите вектор MN по векторам AB = b, AC = c, AD = d.

Давай разберём эту задачу шаг за шагом, как это сделал бы я на сайте с вопросами и ответами.

Дано:

• Тетраэдр $DABC$ с вершинами $A, B, C, D$.

• Медианы грани $ABC$ пересекаются в точке $M$. Напомню, что точка пересечения медиан треугольника — это его центр тяжести.

• Точка $N$ лежит на $DC$, причём $DN : NC = 5 : 1$.

• Векторы $AB = \mathbf{b}, AC = \mathbf{c}, AD = \mathbf{d}$.

• Нужно разложить вектор $\mathbf{MN}$ через $\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$.

Шаг 1. Найдём координаты точки M через вершину A и векторы

Точка M — центр тяжести треугольника ABC:

Пусть точка A — начало системы координат (то есть $\mathbf{A} = \mathbf{0}$), тогда:

Шаг 2. Найдём координаты точки N на DC

Пусть $\mathbf{D} = \mathbf{d}$, $\mathbf{C} = \mathbf{c}$. Точка N делит отрезок DC в отношении $DN : NC = 5 : 1$, значит:

Проверка: коэффициенты пропорциональны $NC : DN = 1:5$ с другой стороны, но так как формула для деления отрезка в отношении $m:n$ (где точка ближе к первой точке) даёт $\mathbf{N} = \frac{n\mathbf{D} + m\mathbf{C}}{m+n}$, то действительно $\mathbf{N} = \frac{\mathbf{d} + 5\mathbf{c}}{6}$.

Шаг 3. Вектор MN через M и N

Приведём к общему знаменателю $6$:

Шаг 4. Финальное разложение

Ответ: