АВСА₁В₁С₁ — прямая треугольная призма, основанием которой является равнобедренный треугольник АВС (∠АВС = 90°). Точка F — внутренняя точка отрезка АА₁. Вычислите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки F, В, С, если известно, что СС₁ = 2 см, площадь боковой поверхности призмы равна (12 + 6√2) см², а плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол, градусная мера которого равна 30°

Пусть $h=CC_1=AA_1=BB_1=2$ см — высота призмы.

Обозначим

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный прямоугольный с прямым углом при $B$, то

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Следовательно,

Подставим длины сторон:

откуда

Значит,

Сечение плоскостью через точки $F,B,C$ представляет собой треугольник $BCF$.

Плоскость сечения пересекает плоскость основания по прямой $BC$. Рассмотрим плоскость $ABF$, перпендикулярную $BC$. В этой плоскости угол между $AB$ и $BF$ равен углу между плоскостью основания и плоскостью сечения, то есть

Треугольник $ABF$ прямоугольный при $A$, поэтому

Следовательно,

В треугольнике $BCF$ отрезок $BF$ перпендикулярен $BC$, значит он является высотой к стороне $BC$. Найдём его по теореме Пифагора из $\triangle ABF$:

Тогда площадь сечения: