1. На рис. 146 ВО = МО, ∠ABC = 45°; ∠BCM = 50°; ∠AOC = 95°. Знайдіть кут М. Доведіть, що ∆АВО = ∆СМО.

Рассмотрим задачу по шагам.

1. Из условия $BO = MO$, значит точка $O$ — середина отрезка $BM$, то есть точки $B, O, M$ лежат на одной прямой, причём $OB$ и $OM$ — противоположные лучи.

2. Дан угол $\angle ABC = 45^\circ$, то есть угол между лучами $BA$ и $BC$.

3. Дан угол $\angle BCM = 50^\circ$, то есть угол между лучами $CB$ и $CM$.

Рассмотрим теперь угол между прямыми $BA$ и $CM$. Переходя от $BA$ к $CM$ через $BC$, получаем:

Но по условию также дано:

то есть угол между $OA$ и $OC$ тоже равен $95^\circ$.

Отсюда следует важный вывод: лучи $AO$ и $AB$ образуют такой же “поворот” к соответствующим лучам $CO$ и $CM$. При этом $O$ — середина $BM$, значит лучи $OB$ и $OM$ противоположны, и углы при вершинах $B$ и $M$ оказываются соответствующими.

Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CMO$:

• $BO = MO$ (дано),

• $\angle AOB = \angle COM$ (так как это углы между попарно соответствующими прямыми, образующими одинаковый поворот $95^\circ$),

• $AB = CM$ (следует из равенства соответствующих углов при параллельных “поворотах” через точку $O$).

Следовательно, $\triangle ABO = \triangle CMO$ по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда соответствующие углы равны, в частности:

Теперь найдём $\angle ABO$. Так как $BO$ лежит на одной прямой с $BM$, а угол между $BA$ и $BC$ равен $45^\circ$, то угол между $BA$ и продолжением линии через $B$ (то есть $BO$) остаётся равным этому же значению поворота в данной конфигурации, то есть:

Следовательно:

Ответ: $\angle M = 45^\circ$.

Доказательство равенства $\triangle ABO = \triangle CMO$:
Треугольники равны по стороне $BO = MO$ и двум прилежащим к ней углам, которые попарно равны вследствие равенства углов поворота $45^\circ$, $50^\circ$ и общего угла $95^\circ$ при точке $O$, что задаёт одинаковую конфигурацию лучей в обеих фигурах.