Даны точки плоскости A, B, C. Требуется: 1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности; 2) написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет; 3) построить точки и кривые в системе координат. A(3;9) B(8;4) C(-1;7)

1. Уравнение окружности через точки $A(3;9)$, $B(8;4)$, $C(-1;7)$

Общее уравнение окружности:

Подставим координаты трех точек.

Для $A(3;9)$:

Для $B(8;4)$:

Для $C(-1;7)$:

Получаем систему:

Вычтем второе уравнение из первого:

То есть

Вычтем третье уравнение из второго:

Подставим $E=D-2$:

Тогда

Подставим в любое из исходных уравнений, например для точки $B$:

Поэтому уравнение окружности:

Приведем его к каноническому виду:

Следовательно, центр окружности:

а радиус:

Проверка показывает, что все три точки действительно лежат на окружности.

2. Уравнение эллипса через точки $B$ и $C$

Через две точки вообще можно провести бесконечно много различных эллипсов. Поэтому здесь используется стандартное для таких задач условие: центр эллипса находится в начале координат, а его оси совпадают с осями $Ox$ и $Oy$.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Точка $B(8;4)$ принадлежит эллипсу, поэтому