Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 234. Точка Е лежит на ребре SB и делит его в

Ответы на вопрос

Отвечает Пономаренко Макс.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $S A BC D$ , её объём:

V_{S A BC D} = 234

Точка $E$ лежит на ребре $SB$ и делит его в отношении:

SE : EB = 20 : 19

Нужно найти объём треугольной пирамиды $E A C D$ .

1. Рассмотрим объёмы пирамид

У пирамид $S A BC D$ и $E A C D$ одинаковое основание $A C D$ , потому что обе они имеют основание в плоскости $A BC D$ . Отличаются только высоты из точек $S$ и $E$ к этой плоскости.

Значит, их объёмы относятся как их высоты:

\frac{V _{E A C D}}{V _{S A C D}} = \frac{h _{E}}{h _{S}}

Так как точка $E$ лежит на ребре $SB$ , высота меняется пропорционально расстоянию от основания.

Точка $B$ лежит в основании, поэтому её высота равна 0, а у вершины $S$ высота равна $h_{S}$ .

Из условия:

SE : EB = 20 : 19

Общее количество частей:

20 + 19 = 39

От вершины $S$ до точки $E$ :

SE = \frac{20}{39} SB

Следовательно, высота точки $E$ :

h_{E} = h_{S} - \frac{20}{39} h_{S} = \frac{19}{39} h_{S}

Значит:

V_{E A C D} = \frac{19}{39} V_{S A C D}

2. Найдём объём пирамиды $S A C D$

Диагональ $A C$ делит квадрат $A BC D$ на два равных треугольника:

S_{△ A C D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}

Поэтому объём пирамиды $S A C D$ в два раза меньше объёма всей пирамиды:

V_{S A C D} = \frac{1}{2} \cdot 234 = 117

3. Найдём объём $E A C D$

V_{E A C D} = \frac{19}{39} \cdot 117

Так как:

117 : 39 = 3

получаем:

V_{E A C D} = 19 \cdot 3 = 57

Ответ: $57$ .

Ответы на вопрос

1. Рассмотрим объёмы пирамид

2. Найдём объём пирамиды $S A C D$

3. Найдём объём $E A C D$

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

Ответы на вопрос

1. Рассмотрим объёмы пирамид

2. Найдём объём пирамиды SACD

3. Найдём объём EACD

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

2. Найдём объём пирамиды $S A C D$

3. Найдём объём $E A C D$