7. Один из углов прямоугольного треугольника равен 32°. Из вершины прямого угла проведены медиана, биссектриса и высота. Найти углы: а) между медианой и биссектрисой; б) между биссектрисой и высотой.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$, в котором:

• $\angle C=90^\circ$;

• $\angle A=32^\circ$;

• $CM$ — медиана, проведённая к гипотенузе $AB$;

• $CK$ — биссектриса прямого угла;

• $CH$ — высота, проведённая к гипотенузе.

Найти:

а) $\angle MCK$ — угол между медианой и биссектрисой;

б) $\angle KCH$ — угол между биссектрисой и высотой.

Решение

1. Найдём второй острый угол треугольника.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Так как $\angle C=90^\circ$, то:

2. Найдём угол между медианой и биссектрисой.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, она равна половине гипотенузы.

Следовательно,

Треугольник $ACM$ равнобедренный, так как $CM=AM$.

Поэтому углы при его основании равны:

Биссектриса $CK$ делит прямой угол пополам:

Тогда угол между медианой и биссектрисой равен:

3. Найдём угол между биссектрисой и высотой.

Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, поэтому:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$.

В нём:

Мы уже знаем, что биссектриса образует с катетом $AC$ угол $45^\circ$.

Следовательно, угол между биссектрисой и высотой:

Ответ:

а) Угол между медианой и биссектрисой — $\boxed{13^\circ}$.

б) Угол между биссектрисой и высотой — $\boxed{13^\circ}$.