Хорды АВ и CD окружности (O, R) пересекаются в точке N. DN = 16,5 и NC = 14, а отрезок AN больше отрезка NB на 10. Найти длину хорды АВ и радиус, если ON = 13.

Используем свойство пересекающихся хорд:

\[AN \cdot NB = CN \cdot DN\]

Дано: \( DN=16{,}5 \), \( NC=14 \). Тогда:

\[CN \cdot DN = 14 \cdot 16{,}5 = 231\]

Пусть \( NB=x \), тогда \( AN=x+10 \). Получаем:

\[x(x+10)=231\]

\[x^2+10x-231=0\]

\[D=10^2+4\cdot 231=1024\]

\[x=11\]

Значит, \( NB=11 \), \( AN=21 \), поэтому:

\[AB=AN+NB=21+11=32\]

Теперь найдём радиус. Середина хорды \( AB \) делит её пополам, значит половина хорды равна \( 16 \). Точка \( N \) находится от середины хорды на \( 5 \) см, потому что \( 21-16=5 \).

Дано \( ON=13 \). Расстояние от центра до хорды:

\[OM^2+5^2=13^2\]

\[OM^2=169-25=144\]

\[OM=12\]

Радиус:

\[R^2=12^2+16^2=144+256=400\]

\[R=20\]

Ответ: \( AB=32 \) см, \( R=20 \) см.

0 0 Пожаловаться