Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов BC и AC в точках A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A2, другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B2. Точки P и Q — середины отрезков A1B2 и A2B1 соответственно. Найдите угол PCQ.

Ответ: $\boxed{45^\circ}$.

Решение

Обозначим через $I$ центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

По условию треугольник $ABC$ прямоугольный, причём $\angle C=90^\circ$.

Пусть

а $r$ — радиус вписанной окружности.

1. Найдём необходимые соотношения между отрезками.

Поскольку вписанная окружность касается катетов $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, а угол $C$ прямой, получаем:

Следовательно,

Обозначим полупериметр треугольника через

Из свойств касательных, проведённых к вневписанным окружностям, имеем:

Для прямоугольного треугольника

Поэтому

Таким образом, получили важные равенства:

2. Найдём угол $PCA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CA_1B_2$.

По условию $P$ — середина отрезка $A_1B_2$, то есть середина гипотенузы этого треугольника.

Следовательно,

В частности, треугольник $CPB_2$ равнобедренный, поэтому

Поскольку $P$ лежит на $A_1B_2$, имеем:

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $CA_1B_2$