В окружности с центром О проведен диаметр АВ=8,4 см, пересекающий хорду CD в точке К, причем К — середина хорды. Угол между диаметром и радиусом равен 30°. Найдите длину хорды CD и периметр △COD.

Дано:

• Окружность с центром $O$.

• $AB=8{,}4$ см — диаметр окружности.

• $CD$ — хорда окружности.

• $K$ — середина хорды $CD$.

• Угол между диаметром $AB$ и радиусом $OC$ равен $30^\circ$.

Найти:

1. Длину хорды $CD$.

2. Периметр треугольника $COD$.

Решение

1. Найдём радиус окружности.

Радиус равен половине диаметра:

Следовательно,

2. Найдём длину хорды $CD$.

По условию диаметр $AB$ проходит через середину хорды $CD$, то есть через точку $K$.

По свойству окружности прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, перпендикулярна этой хорде.

Значит,

Следовательно, треугольник $OCK$ — прямоугольный, причём:

• $OC=4{,}2$ см — гипотенуза;

• $\angle COK=30^\circ$;

• $CK$ — катет, лежащий напротив угла $30^\circ$.

Известно, что катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Поэтому:

Так как точка $K$ — середина хорды $CD$, то:

Таким образом, длина хорды $CD=4{,}2$ см.

3. Найдём периметр треугольника $COD$.

В треугольнике $COD$:

Все три стороны равны, следовательно, треугольник $COD$ является равносторонним.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

Подставим значения:

Ответ: