Докажите, что в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

\[a+c=b+d\]

В параллелограмме противоположные стороны равны. Пусть его стороны равны \(a\) и \(b\). Тогда условие для вписанной окружности будет таким:

\[a+a=b+b\]

\[2a=2b\]

\[a=b\]

Значит, все стороны параллелограмма равны. А параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Обратно: если параллелограмм является ромбом, то все его стороны равны. Тогда суммы противоположных сторон тоже равны:

\[a+a=a+a\]

Значит, в такой параллелограмм можно вписать окружность.

Следовательно, в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

0 0 Пожаловаться