60 БАЛЛОВ! ПОЖАЛУЙСТА,ПОДРОБНО С ДАНО,НАЙТИ,РЕШЕНИЕ + РИСУНОК. ОТМЕЧУ КАК ЛУЧШИЙ!
Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как корень из 3п :4 Найдите а)угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания. б)угол между диагоналями осевого сечения.

Дано:

Цилиндр с радиусом основания \(R\) и высотой \(H\).

\[\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{осев}}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}\]

Найти: \(\alpha\) — угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания; \(\beta\) — угол между диагоналями осевого сечения.

Рисунок осевого сечения:

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник \(ABCD\). Его стороны равны \(2R\) и \(H\).

Решение:

Площадь основания:

\[S_{\text{осн}}=\pi R^2\]

Площадь осевого сечения:

\[S_{\text{осев}}=2RH\]

Составим отношение:

\[\frac{\pi R^2}{2RH}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}\]

\[\frac{R}{2H}=\frac{\sqrt{3}}{4}\]

\[\frac{H}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}\]

Проекция диагонали осевого сечения на плоскость основания равна диаметру \(2R\). Поэтому:

\[\tan\alpha=\frac{H}{2R}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

\[\alpha=30^\circ\]

Для угла между диагоналями прямоугольника:

\[\cos\beta=\frac{(2R)^2-H^2}{(2R)^2+H^2}\]

Подставим \(H^2=\frac{4R^2}{3}\):

\[\cos\beta=\frac{4R^2-\frac{4R^2}{3}}{4R^2+\frac{4R^2}{3}}=\frac{1}{2}\]

\[\beta=60^\circ\]

Ответ: а) \(30^\circ\); б) \(60^\circ\).

0 0 Пожаловаться