Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, одновременно навстречу друг другу вышли две группы туристов и встретились через 2 часа. Найдите скорость каждой группы, если известно, что на весь путь первая группа тратит на 54 минуты больше, чем вторая.

Для решения задачи обозначим скорость первой группы как $v_1$ (км/ч), а скорость второй группы как $v_2$ (км/ч).

Из условия задачи:

1. Расстояние между двумя пунктами составляет 18 км.

2. Группы встречаются через 2 часа, то есть за это время суммарное расстояние, которое они преодолели, равно 18 км.

Пусть первая группа преодолевает путь за время $t_1$, а вторая — за $t_2$. Из условия задачи известно, что:

• $t_1 = t_2 + \frac{54}{60} = t_2 + 0,9$ часа (первая группа тратит на 54 минуты больше, чем вторая).

Также известно, что за время 2 часа они встречаются, и их суммарная скорость (скорость первой и второй группы вместе) равна $v_1 + v_2$. То есть:

Это уравнение можно упростить:

Теперь воспользуемся отношениями времени и скорости для каждой группы. Для первой группы:

Для второй группы:

Из условия $t_1 = t_2 + 0,9$ получаем:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $v_1 + v_2 = 9$

2. $\frac{18}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0,9$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v_1$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь упростим и решим это уравнение. Умножим обе части на $v_2(9 - v_2)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Продолжим раскрывать скобки:

Приведем все слагаемые в одну сторону: