Сократите дробь: 5x²-12x+4 а) ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋ = ? 6-15x x-7x² б) -------------- = ? 7x²+13x-2

Для того чтобы сократить дробь, нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители и затем посмотреть, можно ли упростить выражение, устранив одинаковые множители в числителе и знаменателе.

а) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{6 - 15x}$

1. Рассмотрим числитель: $5x^2 - 12x + 4$.
   Для разложения на множители попробуем найти корни этого квадратичного уравнения. Для этого используем метод выделения дискриминанта.

   Дискриминант:

   $$\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64.$$

   Корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.$$

   Таким образом, числитель можно разложить как:

   $$5x^2 - 12x + 4 = 5(x - 2)(x - \frac{2}{5}).$$

2. Теперь рассмотрим знаменатель: $6 - 15x$.
   Мы можем вынести общий множитель $-3$ из знаменателя:

   $$6 - 15x = -3(5x - 2).$$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

Мы видим, что выражения $(x - \frac{2}{5})$ и $(5x - 2)$ являются эквивалентными, так как $5(x - \frac{2}{5}) = 5x - 2$. Следовательно, мы можем их сократить. После этого дробь будет выглядеть так:

Это и есть упрощенный вид данной дроби.

б) $\frac{x - 7x^2}{7x^2 + 13x - 2}$

1. Рассмотрим числитель: $x - 7x^2$.
   Мы можем вынести общий множитель $x$:

   $$x - 7x^2 = x(1 - 7x).$$

2. Рассмотрим знаменатель: $7x^2 + 13x - 2$.
   Для разложения этого выражения на множители, воспользуемся методом выделения. Найдем два числа, которые при умножении дают произведение $7 \cdot (-2) = -14$, а при сложении — дают 13. Это числа 14 и -1.

   Тогда разложим квадратное выражение:

   $$7x^2 + 13x - 2 = 7x^2 + 14x - x - 2 = 7x(x + 2) - 1(x + 2).$$

   Извлекая общий множитель $(x + 2)$, получаем:

   $$7x^2 + 13x - 2 = (x + 2)(7x - 1).$$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

Никакие множители здесь не могут быть сокращены, поэтому окончательный ответ остается в виде: