Решить логарифмическое неравенство: log по основанию 1/5 (2x + 3) > -3

Для решения логарифмического неравенства $\log_{\frac{1}{5}}(2x + 3) > -3$, давайте разберём его шаг за шагом.

Шаг 1. Извлекаем неравенство из логарифма.

Логарифм с основанием $\frac{1}{5}$ можно переписать через экспоненциальное выражение. Вспомним, что:

В нашем случае основание логарифма $a = \frac{1}{5}$, и выражение выглядит так:

Теперь перепишем это как экспоненциальное равенство:

Шаг 2. Упростим выражение.

Преобразуем $\left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$ в более удобную форму:

Таким образом, мы получаем:

Шаг 3. Решаем для $x$.

Теперь решим это простое линейное уравнение:

Вычитаем 3 с обеих сторон:

Делим обе стороны на 2:

Шаг 4. Учитываем знак логарифма.

Так как основание логарифма $\frac{1}{5}$ меньше 1, логарифм является убывающей функцией. Это означает, что неравенство $\log_{\frac{1}{5}}(2x + 3) > -3$ эквивалентно неравенству:

Решаем это неравенство:

Шаг 5. Ограничения области определения.

Для логарифма $\log_{\frac{1}{5}}(2x + 3)$ выражение под логарифмом должно быть положительным:

Итоговый ответ:

Таким образом, решение неравенства: