Sin^4x-cos^4x=1/2 [-60;0]

Чтобы решить уравнение $\sin^4x - \cos^4x = \frac{1}{2}$ на интервале $[-60^\circ; 0^\circ]$, можно воспользоваться преобразованиями тригонометрических функций и решениями квадратных уравнений.

1. Используем формулу разности квадратов:

   $\sin^4x - \cos^4x$ можно записать как разность квадратов:

   $$\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x - \cos^2x)(\sin^2x + \cos^2x)$$

   Поскольку $\sin^2x + \cos^2x = 1$ (тригонометрическая тождественность), упростим выражение:

   $$\sin^4x - \cos^4x = \sin^2x - \cos^2x$$

2. Теперь у нас есть уравнение:

   $$\sin^2x - \cos^2x = \frac{1}{2}$$

3. Воспользуемся формулой для разности квадратов:

   Мы знаем, что ( \sin^2x - \cos^2x = \cos(2x) . Таким образом, уравнение примет вид:

   $$\cos(2x) = \frac{1}{2}$$

4. Решение для $\cos(2x) = \frac{1}{2}$:

   Косинус равен $\frac{1}{2}$ при углах $60^\circ$ и $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ на интервале $[0^\circ, 360^\circ]$. Это означает, что:

   $$2x = 60^\circ + 360^\circ k \quad \text{или} \quad 2x = 300^\circ + 360^\circ k$$

   для целых $k$.

5. Теперь найдем $x$:

   Из этих уравнений получаем:

   $$x = 30^\circ + 180^\circ k \quad \text{или} \quad x = 150^\circ + 180^\circ k$$

6. Ограничение на интервал $[-60^\circ; 0^\circ]$:

   Нам нужно найти решения для $x$ на интервале $[-60^\circ; 0^\circ]$. Подставим различные значения $k$ и проверим, какие решения попадают в этот интервал:

   • Для первого уравнения $x = 30^\circ + 180^\circ k$:

     • При $k = -1$ получаем $x = 30^\circ - 180^\circ = -150^\circ$ (не попадает в интервал).

     • При $k = 0$ получаем $x = 30^\circ$ (не попадает в интервал).

   • Для второго уравнения $x = 150^\circ + 180^\circ k$:

     • При $k = -1$ получаем $x = 150^\circ - 180^\circ = -30^\circ$ (попадает в интервал).

     • При $k = 0$ получаем $x = 150^\circ$ (не попадает в интервал).

   Таким образом, единственное решение на интервале $[-60^\circ; 0^\circ]$ — это $x = -30^\circ$.

Ответ: $x = -30^\circ$.