Найдите sin a, cos a, tg a, если cos2a= 0,6 и a принадлежит (0;π/2).

Для решения задачи, где задано $\cos 2a = 0,6$ и угол $a$ принадлежит промежутку $(0; \frac{\pi}{2})$, нужно найти значения тригонометрических функций $\sin a$, $\cos a$ и $\tan a$.

1. Используем формулы для $\cos 2a$:

   Из формулы для косинуса удвоенного угла:

   $$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$$

   Подставим значение $\cos 2a = 0,6$:

   $$\cos^2 a - \sin^2 a = 0,6$$

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

   Напоминаем, что для любого угла $a$ справедливо основное тождество:

   $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

   Из этого тождества можно выразить $\sin^2 a$ через $\cos^2 a$:

   $$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$$

3. Подставляем $\sin^2 a$ в уравнение для $\cos 2a$:

   Подставим $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ в уравнение $\cos^2 a - \sin^2 a = 0,6$:

   $$\cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = 0,6$$

   Упростим это уравнение:

   $$\cos^2 a - 1 + \cos^2 a = 0,6$$ $$2\cos^2 a - 1 = 0,6$$ $$2\cos^2 a = 1,6$$ $$\cos^2 a = 0,8$$

   Таким образом, $\cos a = \sqrt{0,8} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, так как угол $a$ лежит в первой четверти, и $\cos a$ положительный.

4. Находим $\sin a$:

   Теперь, используя $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$, найдем $\sin a$:

   $$\sin^2 a = 1 - 0,8 = 0,2$$ $$\sin a = \sqrt{0,2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

   Поскольку $a$ находится в первой четверти, $\sin a$ положительно.

5. Находим $\tan a$:

   Тангенс угла $a$ можно найти как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{1}{2}$$

Итак, окончательные значения тригонометрических функций:

• $\sin a = \frac{\sqrt{5}}{5}$

• $\cos a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$