Представить число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. (Решить с помощью производной)

Чтобы представить число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых $x$ и $y$, так, чтобы их произведение было наибольшим, нам нужно решить задачу оптимизации с помощью производной.

Шаг 1: Условие задачи

Нам нужно найти такие два положительных числа $x$ и $y$, что их сумма равна 12, то есть:

И нам нужно максимизировать произведение этих чисел, то есть максимизировать выражение:

Шаг 2: Выразим $y$ через $x$

Используя условие, что $x + y = 12$, можно выразить $y$ через $x$:

Подставим это в выражение для произведения:

Шаг 3: Найдем производную и находим критические точки

Чтобы найти максимум функции, нужно найти производную $P(x)$ по $x$ и приравнять её к нулю:

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

Решаем для $x$:

Шаг 4: Проверим, что это максимум

Чтобы убедиться, что найденная точка действительно является максимумом, посчитаем вторую производную:

Поскольку вторая производная отрицательна ($P''(x) = -2$), это означает, что функция имеет максимум в точке $x = 6$.

Шаг 5: Нахождение значений $x$ и $y$

Из условия $x + y = 12$, при $x = 6$, получаем:

Ответ:

Таким образом, наибольшее произведение будет, когда оба числа равны 6. В этом случае:

Следовательно, числа 6 и 6 являются теми, которые дают наибольшее произведение при их сумме 12.