найдите область значений функции у = х² - 4х - 7, где х принадлежит от -1 до 5 (включая эти числа)

Для нахождения области значений функции $y = x^2 - 4x - 7$ на промежутке $x \in [-1; 5]$, необходимо исследовать поведение этой функции в указанном интервале.

1. Запишем функцию:

   $$y = x^2 - 4x - 7$$

   Это квадратичная функция, и ее график — парабола. Чтобы найти область значений на данном интервале, нужно найти значения функции на границах интервала, а также исследовать, где функция достигает экстремума на этом интервале.

2. Найдем вершину параболы.
   Формула для нахождения абсциссы вершины параболы для функции $y = ax^2 + bx + c$ следующая:

   $$x_{\text{вершины}} = \frac{-b}{2a}$$

   В нашей функции $a = 1$, $b = -4$, и $c = -7$. Подставляем в формулу:

   $$x_{\text{вершины}} = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

   Это значит, что вершина параболы находится при $x = 2$.

3. Вычислим значение функции в точке вершины. Подставляем $x = 2$ в уравнение функции:

   $$y(2) = 2^2 - 4(2) - 7 = 4 - 8 - 7 = -11$$

   Таким образом, в точке $x = 2$ функция достигает минимального значения $y = -11$.

4. Вычислим значения функции на концах интервала. Для этого подставляем $x = -1$ и $x = 5$ в исходную функцию:

   • При $x = -1$:

     $$y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2$$

   • При $x = 5$:

     $$y(5) = 5^2 - 4(5) - 7 = 25 - 20 - 7 = -2$$

5. Результаты.

   • На интервале $x \in [-1; 5]$, минимальное значение функции $y = -11$ достигается в точке вершины $x = 2$.

   • Максимальное значение функции на этом интервале равно $-2$, и оно достигается как в точке $x = -1$, так и в точке $x = 5$.

Область значений функции на интервале $x \in [-1; 5]$ — это отрезок от $-11$ до $-2$, включая эти значения.

Таким образом, область значений функции $y = x^2 - 4x - 7$ на интервале $[-1; 5]$ — это $[-11; -2]$.