Cos5x+cos7x=cos(П+6x)

Для решения уравнения $\cos(5x) + \cos(7x) = \cos(\pi + 6x)$ будем использовать несколько тригонометрических свойств и идентичностей.

1. Используем формулу для суммы косинусов:

   Сначала применим формулу для суммы косинусов:

   $$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right).$$

   В нашем случае $A = 5x$ и $B = 7x$. Подставляем:

   $$\cos(5x) + \cos(7x) = 2 \cos\left(\frac{5x + 7x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5x - 7x}{2}\right).$$

   Это упрощается до:

   $$\cos(5x) + \cos(7x) = 2 \cos(6x) \cdot \cos(-x).$$

   Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, получаем:

   $$\cos(5x) + \cos(7x) = 2 \cos(6x) \cdot \cos(x).$$

2. Упростим правую часть уравнения:

   Теперь рассмотрим правую часть уравнения $\cos(\pi + 6x)$. Используем известную тригонометрическую формулу:

   $$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta).$$

   Подставляем $\theta = 6x$:

   $$\cos(\pi + 6x) = -\cos(6x).$$

3. Запишем уравнение в упрощенном виде:

   Теперь у нас есть следующее уравнение:

   $$2 \cos(6x) \cdot \cos(x) = -\cos(6x).$$

4. Решим уравнение:

   Преобразуем уравнение:

   $$2 \cos(6x) \cdot \cos(x) + \cos(6x) = 0.$$

   Вынесем $\cos(6x)$ за скобки:

   $$\cos(6x) (2 \cos(x) + 1) = 0.$$

   Это уравнение имеет два возможных решения:

   1. $\cos(6x) = 0$,

   2. $2 \cos(x) + 1 = 0$, то есть $\cos(x) = -\frac{1}{2}$.

   Рассмотрим каждое из этих решений:

   • Первое решение: $\cos(6x) = 0$:
     Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число. То есть:

     $$6x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

     Разделим на 6:

     $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   • Второе решение: $\cos(x) = -\frac{1}{2}$:
     Косинус равен $-\frac{1}{2}$, когда $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

     Таким образом, решения второго уравнения:

     $$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

5. Итоговые решения:

   Объединяя все найденные решения, получаем полный набор решений:

   $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z},$$ $$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$