Разложите на множители: а) (y+2)^2-4y^2 б) 16-1/81x^4 в) x^3-8y^3 г) 2x+x^2+2y-y^2

а) Разложим на множители выражение $(y+2)^2 - 4y^2$:

1. Сначала раскроем квадрат первого множителя:

   $$(y+2)^2 = y^2 + 4y + 4.$$

2. Подставляем это в исходное выражение:

   $$(y^2 + 4y + 4) - 4y^2.$$

3. Приводим подобные члены:

   $$y^2 + 4y + 4 - 4y^2 = -3y^2 + 4y + 4.$$

4. Теперь разлагаем $-3y^2 + 4y + 4$ на множители. Мы можем вынести общий множитель $-1$:

   $$-(3y^2 - 4y - 4).$$

5. Теперь нужно разложить на множители квадратное выражение $3y^2 - 4y - 4$. Найдем два числа, которые в сумме дают $-4$ и в произведении $-12$ (это произведение $3 \times -4$). Это числа $-6$ и $2$, так как $-6 + 2 = -4$ и $-6 \times 2 = -12$.

6. Раскладываем:

   $$3y^2 - 4y - 4 = 3y^2 - 6y + 2y - 4.$$

7. Группируем:

   $$= 3y(y - 2) + 2(y - 2).$$

8. Вынесем общий множитель $(y - 2)$:

   $$= (y - 2)(3y + 2).$$

9. Таким образом, полное разложение:

   $$-(y - 2)(3y + 2).$$

б) Разложим выражение $16 - \frac{1}{81}x^4$:

1. Перепишем выражение в виде разности квадратов:

   $$16 - \frac{1}{81}x^4 = 4^2 - \left(\frac{1}{9}x^2\right)^2.$$

2. Разложим разность квадратов:

   $$(4 - \frac{1}{9}x^2)(4 + \frac{1}{9}x^2).$$

3. Это и будет разложение на множители:

   $$(4 - \frac{1}{9}x^2)(4 + \frac{1}{9}x^2).$$

в) Разложим выражение $x^3 - 8y^3$:

1. Это разность кубов, так как $x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3$.

2. Формула разности кубов:

   $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$$

3. Подставляем $a = x$ и $b = 2y$:

   $$x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2).$$

4. Это и будет разложение на множители:

   $$(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2).$$