Система уравнений х^2-2y^2=1 x^4+3y^4=129 как решить через замену?

Решу систему пошагово именно через замену, как ты и просишь:

1. Делаем замену

Естественно напрашивается замена:

Тогда система превращается в систему уже не относительно x и y, а относительно a и b:

Теперь это обычная система с двумя уравнениями относительно $a$ и $b$.

2. Выражаем $a$ через $b$

Из первого уравнения:

3. Подставляем в второе уравнение

Подставляем $a = 1 + 2b$ во второе уравнение:

Получаем:

Раскрываем квадрат:

Собираем подобные:

Переносим всё в одну сторону:

Получили квадратное уравнение относительно $b$.

4. Решаем квадратное уравнение для $b$

Считаем дискриминант:

Тогда:

Теперь находим $b$:

Но помним, что $b = y^2$, а квадрат числа не может быть отрицательным. Значит:

Итак:

5. Находим $x^2$, а потом и $x$

Вспоминаем формулу:

Мы