В ряд стоят 12 мальчиков, у каждого из них есть хотя бы 1 карандаш. Каких двух соседних мальчиков ни выбери, у одного из них ровно на 1 карандаш больше, чем у другого. Сколько различных значений может принимать общее количество карандашей у всех мальчиков, если известно, что у какого-то из них ровно 2 карандаша? В качестве ответа введите число.

Для того чтобы ответить на данный вопрос, давайте проанализируем ситуацию.

Итак, у нас есть 12 мальчиков, и каждый из них имеет хотя бы 1 карандаш. При этом, если мы выберем любых двух соседних мальчиков, то у одного из них будет на 1 карандаш больше, чем у другого. Это означает, что количество карандашей у двух соседних мальчиков должно отличаться ровно на 1.

Кроме того, известно, что у какого-то из мальчиков точно 2 карандаша.

Разбор задачи:

1. Отношение между количеством карандашей у соседних мальчиков:

   • Каждый мальчик должен иметь количество карандашей, отличающееся на 1 от количества карандашей у его соседа.

   • Это означает, что количество карандашей у всех мальчиков должно чередоваться: если у одного мальчика есть $x$ карандашей, то у следующего должно быть $x+1$ или $x-1$, но обязательно на 1 больше или на 1 меньше.

2. Минимальное количество карандашей:

   • Поскольку у каждого мальчика должно быть хотя бы 1 карандаш, минимальное значение для любого мальчика — это 1.

3. У одного из мальчиков точно 2 карандаша:

   • Мы знаем, что у какого-то из мальчиков точно 2 карандаша. Это накладывает ограничение на возможные комбинации количеств карандашей, так как должно быть чередование значений, и в какой-то момент необходимо попасть на 2.

4. Строим возможные комбинации:

   • Рассмотрим, как могут чередоваться количества карандашей. Например, если у одного мальчика 2 карандаша, то его соседи будут иметь 1 или 3 карандаша. Однако важно заметить, что у каждого мальчика должно быть хотя бы 1 карандаш, а следовательно, мы не можем перейти к количеству, меньшему 1, так что возможные значения карандашей у соседей будут ограничены этими соседними числами.

   Таким образом, можно построить чередование значений, начиная с 1 или 2, и поочередно увеличивая или уменьшая количество карандашей, всегда оставаясь в пределах допустимых значений (не меньше 1).

5. Общее количество карандашей:

   • Мы видим, что последовательность чисел будет иметь форму небывалого чередования от 1 до 2 и обратно. Таким образом, возможные значения карандашей у мальчиков будут ограничены.

Ответ:

Общее количество карандашей может принимать 5 различных значений, в зависимости от того, как будет устроено чередование карандашей среди мальчиков.