Найдите tga, если sina= 1/корень из 2 и а принадлежит (1/2 пи;пи)

Задано, что $\sin a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и угол $a$ принадлежит интервалу $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$. Нужно найти значение $\tan a$.

1. Определение значения синуса:
   $\sin a = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть угол $a$ может быть равен $\frac{\pi}{4}$, но так как $a$ принадлежит интервалу $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$, то угол $a$ лежит во второй четверти.

2. Выражение для тангенса:
   Вторая четверть (где угол $a$ лежит) имеет следующие особенности:

   • Синус положителен (что мы и видим: $\sin a = \frac{1}{\sqrt{2}}$).

   • Косинус отрицателен (поскольку угол находится во второй четверти).

   Используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

   Подставляем $\sin a = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

   $$\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + \cos^2 a = 1$$ $$\frac{1}{2} + \cos^2 a = 1$$ $$\cos^2 a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

   Таким образом, $\cos a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (отрицательное, так как угол во второй четверти).

3. Вычисление тангенса:
   Тангенс угла $a$ определяется как:

   $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

   Подставляем известные значения:

   $$\tan a = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = -1$$

Ответ: $\tan a = -1$.