Решить систему линейных уравнений графическим методом: x + 3y = 9 x - y = 1

Решим систему

графическим методом.

1. Преобразуем уравнения к виду $y = kx + b$

Это удобно, потому что именно так проще строить графики.

1. Первое уравнение:

Выразим $y$:

То есть первое уравнение в виде функции:

2. Второе уравнение:

Выразим $y$:

Итак, имеем систему в виде:

2. Строим графики уравнений

Каждое уравнение — это прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

Первая прямая: $y = 3 - \dfrac{1}{3}x$

Удобно найти несколько точек:

• При $x = 0$:

  $$y = 3 - 0 = 3 \Rightarrow (0; 3)$$

• При $x = 3$:

  $$y = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2 \Rightarrow (3; 2)$$

• Можно ещё взять $x = 6$:

  $$y = 3 - \frac{6}{3} = 3 - 2 = 1 \Rightarrow (6; 1)$$

Отмечаем точки $(0;3)$, $(3;2)$, $(6;1)$ и проводим через них прямую.

Вторая прямая: $y = x - 1$

Точно так же найдём пару точек:

• При $x = 0$:

  $$y = 0 - 1 = -1 \Rightarrow (0; -1)$$

• При $x = 2$:

  $$y = 2 - 1 = 1 \Rightarrow (2; 1)$$

• При $x = 3$:

  $$y = 3 - 1 = 2 \Rightarrow (3; 2)$$

Отмечаем точки $(0;-1)$, $(2;1)$, $(3;2)$ и проводим через них вторую прямую.

3. Находим точку пересечения графиков

На координатной плоскости две прямые пересекутся в одной точке.
По выбранным точкам видно, что обе прямые проходят через точку $(3; 2)$.

Значит, точка пересечения — $(x; y) = (3; 2)$.

4. Проверка подстановкой

Подставим $x = 3$, $y = 2$ в исходную систему:

1. $x + 3y = 9$:

   $$3 + 3 \cdot 2 = 3 + 6 = 9 \quad \checkmark$$

2. $x - y = 1$:

   $$3 - 2 = 1 \quad \checkmark$$

Оба уравнения выполняются.

Ответ:

Графическим методом получаем, что система имеет единственное решение: