Реши графически систему линейных уравнений: 7x + 2y = 1, 5x − 3y = −17.

Решу, как если бы делал это «по клеточкам» на координатной плоскости.

Дана система:

1. Приведём уравнения к виду $y = kx + b$

1. $7x + 2y = 1$

Переносим $7x$:

2. $5x - 3y = -17$

Переносим $5x$:

Домножаем на $-1$:

Итак, на графике это две прямые:

2. Строим первую прямую $7x + 2y = 1$

Удобно взять две точки.

• При $x = 0$:

  $$7\cdot0 + 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$$

  Точка $A(0;\;0{,}5)$.

• При $x = 1$:

  $$7\cdot1 + 2y = 1 \Rightarrow 7 + 2y = 1 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3$$

  Точка $B(1;\;-3)$.

Отмечаем точки $A$ и $B$ и проводим через них прямую.

3. Строим вторую прямую $5x - 3y = -17$

Снова две точки.

• При $x = 1$:

  $$5\cdot1 - 3y = -17 \Rightarrow 5 - 3y = -17 \Rightarrow -3y = -22 \Rightarrow y = \frac{22}{3} \approx 7{,}33$$

  Точка $C(1;\; \frac{22}{3})$.

• При $x = -1$:

  $$5\cdot(-1) - 3y = -17 \Rightarrow -5 - 3y = -17 \Rightarrow -3y = -12 \Rightarrow y = 4$$

  Точка $D(-1;\;4)$.

Отмечаем точки $C$ и $D$ и проводим через них вторую прямую.

4. Находим точку пересечения графически

На координатной плоскости видно, что прямые пересекаются в точке $D(-1;\;4)$, так как эта точка лежит:

• на второй прямой (мы её так и находили),

• и проверим, что она лежит и на первой:

  $$7\cdot(-1) + 2\cdot4 = -7 + 8 = 1$$

  Уравнение выполняется.

Значит, точка пересечения двух прямых — $(-1;\;4)$.

Ответ: система имеет единственное решение: