Решите уравнения методом введения дополнительных углов:3sinx-4cosx=5

Решаю как обычный пользователь, подробно, с методом введения дополнительного угла.

Дано уравнение:

1. Идея метода

Метод введения дополнительного угла основан на том, что линейную комбинацию $\sin x$ и $\cos x$ можно представить как один синус (или косинус) с некоторым сдвигом:

или

где $R > 0$, а $\varphi$ (или $\psi$) — некоторый угол, который надо найти.

У нас:

Будем представлять в виде:

2. Раскрываем $\sin(x - \varphi)$

Используем формулу:

Тогда:

Сравниваем с исходным выражением:

Получаем систему:

3. Находим $R$ и $\varphi$

Сначала найдём $R$:

значит

Теперь:

Это даёт острый угол $\varphi$ в первой четверти, причём

то есть

Итак, мы переписали левую часть:

где $\varphi = \arctan\frac{4}{3}$.

4. Получаем простое тригонометрическое уравнение

Теперь наше исходное уравнение:

становится:

Делим обе части на 5:

5. Решаем $\sin y = 1$

Обозначим:

Тогда:

Синус равен 1 только при углах вида:

Подставляем обратно $y = x - \varphi$:

Отсюда: