Решите уравнение log₄(sin x + sin 2x + 16) = 2.

Решаю это уравнение так.

Дано:

1. Убираю логарифм

По определению логарифма:

Применяю это к нашему уравнению:

Отсюда:

Остаётся решить уравнение:

2. Преобразую тригонометрическую часть

Использую формулу:

Тогда:

Получаем:

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, значит:

1. $\sin x = 0$,
   или

2. $1 + 2\cos x = 0$.

3. Решаю каждое из уравнений

Случай 1: $\sin x = 0$

Общее решение:

Случай 2: $1 + 2\cos x = 0$

Значения $x$, при которых $\cos x = -\frac{1}{2}$, известны:

или

(Эквивалентно можно записать как $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.)

4. Проверка области определения логарифма

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

На найденных решениях у нас $\sin x + \sin 2x = 0$, значит:

условие выполняется, так что все найденные $x$ подходят.

Можно для уверенности подставить, например:

• при $x = \pi k$: $\sin x = 0$, $\sin 2x = 0$, получаем $\log_4(0 + 0 + 16) = \log_4 16 = 2$;

• при $x = \frac{2\pi}{3}$: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 2x = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, сумма $\sin x+\sin 2x=\mathrm{}$