Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x) - 5e^x - 2.

Для нахождения наименьшего значения функции $y = e^{2x} - 5e^x - 2$ нужно найти ее минимум. Для этого выполните следующие шаги:

1. Пусть $u = e^x$. Это преобразование помогает упростить выражение, так как $e^{2x} = (e^x)^2 = u^2$. Таким образом, функция примет вид:

   $$y = u^2 - 5u - 2$$

   Теперь задача сводится к нахождению минимума квадратичной функции $y = u^2 - 5u - 2$, где $u = e^x$ и $u > 0$.

2. Найдем производную функции по $u$:

   $$\frac{dy}{du} = 2u - 5$$

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   $$2u - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad u = \frac{5}{2}$$

4. Проверим, является ли эта точка минимумом. Для этого рассмотрим вторую производную:

   $$\frac{d^2y}{du^2} = 2$$

   Так как вторая производная положительна, точка $u = \frac{5}{2}$ действительно является точкой минимума.

5. Найдем значение функции в точке минимума. Подставим $u = \frac{5}{2}$ в исходное выражение для функции:

   $$y = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} - 2 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 2$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$y = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{8}{4} = \frac{25 - 50 - 8}{4} = \frac{-33}{4}$$

   Таким образом, наименьшее значение функции равно $\frac{-33}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y = e^{2x} - 5e^x - 2$ равно $\frac{-33}{4}$.