Решите систему графически: 3x + y = 18, 4x - 2y = 4.

Решение.

Дана система:

Нужно решить графически, то есть построить оба уравнения на координатной плоскости и найти точку их пересечения.

1. Приведём уравнения к виду $y = kx + b$

Первое уравнение:

Выразим $y$:

Это прямая с наклоном $-3$ и с пересечением оси $y$ в точке $18$.

Чтобы построить, удобно взять пару точек, например:

• при $x = 0$:
  $y = 18 - 3\cdot 0 = 18 \Rightarrow (0;\,18)$;

• при $x = 2$:
  $y = 18 - 3\cdot 2 = 18 - 6 = 12 \Rightarrow (2;\,12)$.

По двум точкам проводим прямую — это график первого уравнения.

Второе уравнение:

Выразим $y$:

Получили:

Это прямая с наклоном $2$ и пересечением оси $y$ в точке $-2$.

Возьмём тоже пару точек:

• при $x = 0$:
  $y = 2\cdot 0 - 2 = -2 \Rightarrow (0;\,-2)$;

• при $x = 3$:
  $y = 2\cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \Rightarrow (3;\,4)$.

По этим точкам строим вторую прямую.

2. Нахождение точки пересечения (графический смысл решения)

Графически решение — это точка пересечения прямых
$y = 18 - 3x$ и $y = 2x - 2$.

Алгебраически пересечение — это решение системы:

Приравниваем правые части:

Переносим:

Подставляем в любое из уравнений, например $y = 18 - 3x$:

Значит, прямая $y = 18 - 3x$ и прямая $y = 2x - 2$ пересекаются в точке:

Если вы построите обе прямые на координатной плоскости, то увидите, что они пересекаются ровно в этой точке.

Ответ

Решение системы (графически — точка пересечения двух прямых):